Matemáticas: La posibilidad de ganar la lotería.

Entre las diversas loterías organizadas por Caixa Econômica Federal, Mega-Sena es sin duda la favorita de los apostadores. En ella, el apostador debe elegir un mínimo de seis y un máximo de 15 números en una tarjeta numerada del 1 al 60. Se otorgan premios a quienes aciertan cuatro, cinco o seis números (quadra, quina y sena). Al momento de escribir este texto, el premio de Mega-Sena acumulaba R$ 25 millones, lo que seguramente atrajo a un número aún mayor de apostadores. ¿Alguna vez se ha preguntado cuáles son las probabilidades de ganar el premio mayor con una simple apuesta a seis números? Los cálculos son sencillos. Inicialmente, debemos averiguar el número total de agrupaciones que se pueden hacer, de seis en seis, a partir de los 60 números. Las agrupaciones, con repeticiones, de 60 números, de seis en seis, se pueden calcular mediante el principio fundamental del conteo a través del producto 60, 59, 58, 57, 56, 55.

El resultado de este cálculo muestra varias agrupaciones idénticas, que difieren únicamente en el orden. Por ejemplo, una carta con los números 01-02-03-04-05-06 se cuenta 720 veces: el número total de intercambios posibles en el orden de estos seis números. Cualquiera de estas agrupaciones representa los mismos seis números apostados; por lo tanto, para hallar la cantidad de cartas distintas con seis números, debemos dividir el resultado del producto calculado en el primer paso entre 720.

Al hacer los cálculos, encontrarás alrededor de 50 millones, lo que significa que tu probabilidad de ganar el premio mayor con una simple apuesta a seis números es de aproximadamente 1 en 50 millones. Para entender lo improbable de esta situación, veamos un ejemplo. ¿Qué te parecería lanzar un dado 25 veces seguidas y obtener siempre el mismo resultado? Esta probabilidad, que se puede calcular fácilmente con la fórmula (1/2)25, es de aproximadamente 1 en 33 millones, es decir, mayor que la probabilidad de ganar el premio mayor.

Imaginemos ahora que, en un día muy ventoso, un sombrero lanzado al aire pudiera caer aleatoriamente en cualquier punto dentro de un radio de medio kilómetro. Considerando que el radio de nuestra cabeza apenas superaría los 10 cm, podríamos estimar la probabilidad de que el sombrero cayera sobre nuestra cabeza mediante el cociente del área de un círculo de 10 cm de radio por el área del alcance del sombrero, es decir, un círculo de medio kilómetro de radio. Los cálculos indican una probabilidad de 1 entre 25 millones, superior a la de 1 entre 50 millones de ganar la lotería.